Integral merupakan bagian dari pelajaran matematika bab kalkulus. Materi yang baru kamu pelajari di tingkat sekolah lanjutan atas.

Konsep integral ini saling berkaitan satu sama lain dengan ilmu kalkulus lain, yaitu turunan. Ilmu yang tentu saja sangat berguna di berbagai bidang keilmuan. Misalnya, pada konsep gerak pelajaran fisika dan fungsi biaya marjinal pada ilmu ekonomi.

Oleh karena itu, integral menjadi bagian dari ilmu matematika dasar. Ilmu matematika yang dipejari apa pun jurusan dan peminatan kamu di sekolah lanjutan.

Pengertian

Sudah disebutkan diatas kalau integral sangat berkaitan dengan turunan atau diferensial. Jadi, sebelum kamu mulai mempelajarinya, siapkan dulu rangkuman kamu tentang diferensial agar lebih cepat paham.

Mengapa demikian? Karena integral adalah kebalikan dari turunan. Itu sebabnya materi ini sering disebut juga sebagai antidiferensial atau antiderivatif.

Dengan demikian, sebuah fungsi yang dilambangkan dengan f (x) jika diturunkan akan menghasilkan f’(x) atau turunan fungsi. Kebalikannya, kalau fungsi turunan yang dilambangkan dengan f’(x) diintegralkan maka hasilnya akan kembali menjadi f(x).

Integral Tidak Tentu

Integral tidak tentu merupakan antiderivatif dari f’(x) yang menghasilkan fungsi aslinya f(x) secara sederhana. Fokus dari materi awal ini adalah mengubah bentuk turunan menjadi fungsi awalnya, tanpa melibatkan ukuran tertentu.

Integral tidak tentu ini dilambangkan dan dirumuskan sebagai berikut.

  • ∫ f(x) dx = F (x) + C

    Keterangan:
    – f (x) = integran atau fungsi yang diintegralkan
    – F (X) = fungsi integral dari f (x) dengan F’(x) = f(x)
    – c = konstanta
    – dx = variabel pengintegralan yang digunakan adalah variabel x.

Rumusan integral dasar dapat digunakan seperti contoh soal di bawah ini.

  • F(x) = 1/3 (x3) + 5x +2 dan f (x) = x2 + 5 mempunyai hubungan di mana F(x) merupakan antiderivatif f(x). Buktikan hal tersebut.

    Jawab.
    F(x) merupakan antiderivatif f(x) jika F’(x) = f(x).

    Menggunakan rumus turunan fungsi F’(x) = nXn-1 diperoleh:
    F(x) = 1/3 (x3) + 5x +2
    F′(x) = x2 + 5

Jadi, terbukti bahwa F(x) = 1/3 (x3) + 5x +2 adalah antiderivatif dari f (x) = x2 + 5.

Rumus Dasar Integral Tak Tentu

Jika di atas kamu sudah paham tentang integral tak tentu, maka di bawah ini ada beberapa rumus dasar integral tak tentu.

Rumus yang nantinya juga akan kamu pakai saat mempelajari integral tentu.

Misalkan f(x) dan g (x) adalah integral tidak tentu atau antiderivatif, di mana a, c, dan k adalah konstanta maka rumus dasar integral ini, yaitu:
1). ∫dx = x + c
2). ∫ a dx = ax + c
3). xn = 1/(n+1) xn+1 + c, dengan n # 1
4). axn = a/(n+1) xn+1 + c, dengan n # 1
5). k. f(x) dx = k ∫ f(x) dx = k. F(x) + c
6). [f (x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ±∫ g(x) dx = F (x) ± G(x) + c
7). f(x) = 1/x atau f (x) = x-1 maka antiderivatifnya adalah ln x + c, dengan ln x adalah logaritma natural dari x.

Jadi, ∫ 1/x dx = ∫ x-1 = ln x + c

Agar mudah, kamu tidak perlu menghapal semua rumus dasar di atas ya! Cukup banya berlatih saja sambil melihat rumus dulu sementara waktu. Semakin banyak berlatih, rumus yang banyak akan dihapal dengan sendirinya.

Contoh Soal.

  • Selesaikan integral tak tentu di bawah ini!
    1). ∫ x4 dx
    2). ∫ (5x4 + 2x2 – 8) dx
    3). ∫ (x+1) (x + 2) dx
    4). ∫ 1/x5 dx

    Jawab.
    1). ∫ x4 dx = 1/(4+1) x4+1 + c = 1/4 x5 + 1

    2). ∫ (5x4 + 2x2 – 8) dx = ∫ 5x4 dx + ∫ 2x2 dx – ∫ 8 dx
    (diselesaikan satu persatu sesuai dengan nomor satu)
    = 5/4 x5 + 2/3 x3 – 8x + c

    3). ∫ (x+1) (x + 2) dx = ∫ (x2 + 3x + 2) dx = ∫ x2 dx + ∫ 3x dx + ∫ 2 dx
    = 1/3 x3 + 3/2 x2 + 2x

    4). ∫ 1/x5 dx = ∫ x-5 = 1/(-4) x-4

Penerapan Integral Tak Tentu

Perhitungan integral akan banyak kamu temui dalam pelajaran selain matematika. Namun, dalam penerapannya, kamu tidak akan menemukan soal seperti di atas. Penyelesaian integral dapat kamu temui dalam bentuk soal cerita pada perhitungan fungsi posisi benda atau jarak, fungsi biaya dan penerimaan total, dan menentukan persamaan kurva.

Contoh.

  • Sebuah benda berada 5 meter dari suatu titik acuan pada saat t = 0 detik. Benda tersebut kemudian menjauh dengan laju 4t meter/ detik. Berapakah jarak benda menjauh dari titik acuan pada detik ke-10!

    Jawab.
    Fungsi posisi atau persamaan gerak benda adalah
    s = ∫ v dt =∫ 4t dt = 2t2 + c

    Pada saat 0 detik, jarak = s = 5 meter, maka s = 2t2 + c
    5 = 2t2 + c
    5 = 2(0)2 + C
    c = 5

Integral Tentu

Integral tentu merupakan fungsi yang mengetahui hasil perubahan nilai atau titik di antara x = b dan x = b.

Besar perubahan nilai F(x) antara x = a dan x = b adalah F(b) – F (a).

Rumus dasarnya antara lain dalam gambar di bawah ini.

integral

Pada dasarnya rumus integral tentu sama dengan yang tidak tentu, Namun, ada batasa tertentu yang menjadikan perhitungan berlanjut.

Kamu akan lebih memahami maksudnya dengan mengerjakan latihan di buku soal.

Contoh soal.

  1. Hitunglah hasil dari integral tentu berikut ini


    Jawab:

  2. Hitunglah hasil ∫12 6 dx

    Jawab.

  3. Tentukan hasil ∫-12(2x2 – 3)2 dx

    Jawab.

  4. Tentukan hasil dari ∫25( x2 + x + 1) dx

    Jawab

Integral tentu paling banyak digunakan dalam perhitungan luas benda yang berbetuk kurva atau bangun tidak tentu dan volume dengan alas yang juga berbentuk kurva.

Materi dasar ini hanya mempelajari bagian tidak tentu dan tentu. Selanjutnya jika kamu sudah memahami dua konsep dasar di atas dengan banyak berlatih mengerjakan soal, materi lanjutan akan dipahami dengan mudah.

Lanjutan dari materi ini meliputi integral tak tentu trigonometri, tentu trigonometri (terkadang disatukan sebagai integral trigonometri), dan aplikasi integral.

Tidak susah bukan belajar metematika di PinterKelas.com? Yuk, semangat!

Author