Halo Cerdikawan, jangan bosan-bosan untuk belajar ya! Kali ini kita akan belajar tentang limit fungsi, pernahkah kamu mendengar materi ini? Nanti pengertian limit fungsi, konsep dasarnya serta contoh soal akan diulas disini. Jadi mari kita mulai pembahasan mengenai limit fungsi bersama-sama.

Apakah kamu sudah paham dengan istilah limit? Bila ditilik dari asal kata, limit ini bisa diartikan sebagai batas. Ketika sudah mencapai limit, pasti ada konsekuensi tertentu. Apakah di matematika berlaku seperti itu? Kita akan bahas nanti.

Tetapi yang jelas, kamu harus simak dengan seksama ya! Seperti halnya materi matematika lain, semua butuh ketelitian. Dengan modal teliti pasti kamu akan mudah dalam memahami. Jadi, yuk check it out!

Pengertian Limit Fungsi Aljabar

Apa pengertian dari limit fungsi aljabar? Oh ya, kali ini kita bahas aljabar dulu ya! Limit fungsi trigonometri akan kita bahas di bagian bawah! Tetapi terlebih dahulu kita bahas mengenai aljabar. Limit fungsi aljabar adalah sebuah konsep di dalam kalkulus dan analisis tentang perilaku sebuah fungsi yang hendak mendekati titik masukan tertentu.

Limit bisa berarti sebuah batas yang letaknya dekat tetapi tidak bisa dicapai. Dan batas ini memang diperlukan karena terkadang sebuah fungsi tidak bisa didefinisikan pada titik tertentu.

Jadi limit adalah konsep ketika sesuatu dikatakan hampir atau mendekati dari suatu nilai bilangan tertentu. Dalam bahasa inggris disebut pula ‘almost.’ Yakni sudah mendekati tetapi tidak mampu mencapai itu.

Konsep Limit Fungsi

Coba lihat fungsi limit di bawah ini:

limit fungsi

Maka bisa diartikan, bila x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a maka f(x) akan mendekati nilai L. Pendekatan x ke a bisa dilihat dari sisi kiri dan kanan. Atau dengan kata lain, x bisa mendekat dari arah kiri dan kanan sehingga akan muncul limit kiri dan limit kanan.

Dari penjelasan itu, bisa diturunkan menjadi berikut ini:

Dan untuk nilai x mendekati 1, bisa dibuat dalam grafik seperti di bawah ini:

limit fungsi
  • Bila nilai x mendekati 1 dari kiri, nilai f(x) akan mendekati 2
  • Bila nilai x mendekati 1 dari kanan, nilai f(x) akan mendekati 2
    limit fungsi
  • Jadi jika nilai x mendekati 1, maka nilai f(x) akan mendekati 2

Sifat-Sifat Limit Aljabar

Bila n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah sebuah fungsi yang memiliki limit di c, beberapa sifat yang akan berlaku adalah:

limiat fungsi

Cara Menentukan Limit Fungsi Aljabar

Untuk menentukan nilai limit fungsi, terdapat 4 cara yang biasa digunakan. Yakni metode substitusi, pemfaktoran, membagi pangkat tertinggi penyebut, dan mengalikan faktor sekawan. Mari kita bahas satu per satu guys!

  1. Metode Substitusi
    Metode ini dilakukan dengan mengganti variabel yang mendekati pada nilai tertentu terhadap fungsi aljabarnya. Contohnya:

    Maka nilai dari limit fungsi tersebut ialah: limit fungsi
  2. Metode Pemfaktoran
    Metode ini digunakan ketika metode substitusi menghasilkan limit yang tidak terdefinisi. Dan berikut contohnya:

  3. Metode Membagi Pangkat Tertinggi Penyebut
    Untuk mengetahui metode ini, langsung simak bentuknya di bawah ini:


    Besar pangkat tertinggi pada penyebut bernilai 2, maka bisa diubah menjadi:


    Lantas fungsi itu bisa berubah menjadi:
    limit fungsi
  4. Metode mengalikan dengan Faktor Sekawan
    Untuk memahami metode ini, coba lihat contoh di bawah ini:


    Langkah yang harus dilakukan adalah dengan mensubstitusi x = c ke f(x) lalu substitusikan x = 4 ke persamaan:
    limit fungsi

    Dengan hasil 0 dibagi 0, limit itu menjadi tidak terdefinisi. Maka harus digunakan metode lain untuk mencari nilainya. Nah, pada f(x) terdapat bentuk akar yakni:


    Sehingga metode akar sekawan dapat dilakukan seperti di bawah ini:
    limit fungsi

    Lalu akan ketemu bentuk x2 – 6x + 8, kemudian bentuk ini bisa difaktorkan hingga menjadi:


    Maka limit aljabarnya bernilai -4.

Teorema Limit

Simak teorema limit di bawah ini:

limit fungsi

Dari teorema di atas, dapat disimpulkan bahwa sebuah fungsi dianggap memiliki limit bila di antara limit kiri dan limit kanan memiliki besar nilai sama. Bila limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai dari limit itu tidak ada.

Limit Fungsi Trigonometri

Mari kita membahas limit trigonometri. Apakah akan memiliki perbedaan signifikan dengan limit aljabar? Mari kita simak bersama-sama.

Penyelesaiannya memang hampir sama dengan limit aljabar. Tetapi, satu kunci penting yang harus kamu pahami adalah kamu harus paham terlebih dahulu konsep trigonometri. Bila tidak paham pasti akan keseulitan. Dan beberapa bentuk umum dari limit trigonometri ialah:

  1. Bentuk
    Bentuk limit dari fungsi trigonometri f(x) adalah hasil substitusi nilai c ke dalam x dari trigonometri. Berikut adalah contoh dari nilainya:
    limit fungsi

    Bila nilai c adalah 0, limit trigonometrinya sebagai berikut:

  2. Bentuk limit fungsi
    Bentuk limit ini tampak ada perbandingan dari 2 trigonometri berbeda. Kedua trigonometri itu bisa langsung disubstitusikan dengan nilai c menghasilkan f(c) = 0 dan g(c) = 0. Alhasil akan menghasilkan bilangan tidak tentu 0/0. Penyelesaiannya dilakukan dengan pemfaktoran. Contohnya adalah:

  3. Bentuk limit fungsi
    Pada bentuk ini, limit didapatkan dari perbandingan trigonometri dan fungsi aljabar. Bila disubstitusi langsung akan menghasilkan bilangan tidak tentu. Maka untuk menyelesaikan bentuk ini perlu menggunakan konsep turunan. Dan rumus untuk limit ini ialah:


    Kemudian dari rumus di atas bisa dikembangkan kembali menjadi:
    limit fungsi

Contoh Soal Limit Fungsi

Mari kita bahas contoh soalnya.

  1. Terdapat limit aljabar dengan persamaan di bawah ini:


    Jawab:
    Pertama, lakukan dengan cara substitusi langsung:
    limit fungsi

    Karena menghasilkan angka tidak terdefinisi, maka perlu dilakukan cara lain. Yakni dengan mengalikan akar sekawan karena pada penyebut terdapat bentuk akar.

  2. Tentukan nilai dari !

    Jawab:
    limit fungsi
  3. Tentukan nilai limit dari !

    Jawab:
    limit fungsi
  4. Nilai dari limit adalah:

    Jawab:
    Nilai pangkat tertinggi pada pembilang ialah 3 dan nilai pangkat tertinggi dari penyebut adalah 2 (m>n). Karena pangkat pembilang lebih tinggi maka nilai limitnya adalah ∞.

Nah itu tadi materi limit fungsi, rumus limit fungsi, sifat-sifat limit fungsi, dan berbagai hal lain seputar limit. Meski terlihat cukup rumit tetapi pasti kamu bisa pecahkan asalkan kamu tidak menyerah.

Dan ingat sekali lagi, bila hendak memecahkan permasalahan trigonometri, pertama-tama kamu harus paham mengenai konsep trigonometri. Tanpa memahami hal ini tentu dirasa akan cukup sulit.

Satu kunci lagi adalah kamu harus terus berlatih. Memang materi ini cukup rumit, tetapi bukan berarti kamu akan kesulitan untuk memecahkan. Kamu pasti bisa kok!

Pahami materi ini perlahan-lahan. Bila belum paham ulangi kembali sampai kamu benar-benar paham. Semoga materi sederhana ini mampu membantumu dalam memecahkan persoalan tentang limit.

Semoga bermanfaat ya Cerdikawan!

Baca juga :
1. Belajar Mudah Geometri dalam Matematika
2. Belajar Dasar-Dasar Integral Lengkap dan Mudah

Author