Pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari, kamu dan semua yang berada di sekeliling menjalin hubungan atau relasi. Relasi yang menghubungkan setiap 1 individu dengan individu lain secara personal dapat disebut sebagai fungsi. Bilangan dalam matematika juga demikian. Ada relasi dan fungsi. Bahkan ada fungsi invers.

Fungsi bermacam-macam. Ada fungsi aljabar, fungsi kuadrat, dan fungsi komposisi. Fungsi yang sudah merupakan hasil operasional dapat dilihat fungsi asalnya. Ini disebut sebagai fungsi invers.

Kamu mempelajari fungsi invers di sekolah tingkat lanjutan. Nah, PinterKelas akan membahasnya kali ini. Tentu saja dengan mengulang sedikit tentang fungsi yang berhubungan dengannya.

Pengertian

Sudah disebutkan di atas bahwa hasil fungsi invers adalah fungsi asal atau awalnya. Jadi, fungsi invers adalah kebalikan dari fungsi awalnya.

Masih ingatkah kamu dengan istilah domain dan kodomain dalam fungsi? Domain adalah daerah asal dan kodomain merupakan daerah hasil.

Fungsi dan inversnya saling bertukar domain dan kodomain. Jadi jika diketahui fungsi A -> B, maka invresnya berlaku B -> A.

Namun, sebelumnya kamu harus memahami ulang fungsi aljabar dan fungsi komposisi agar lebih mudah. Tidak hanya keduanya, fungsi trigonometri dan logaritma juga dapat dijadikan fungsi invers jika memenuhi syarat. Namun, dengan rumus yang sedikit berbeda, kali ini PinterKelas tidak akan membahas invers trigonometri.

Diketahui pula bahwa setiap fungsi mempunyai invers tetapi belum tentu berlaku sebaliknya.

Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar biasanya terdiri dari 1 variabel. Fungsi dapat merupakan persamaan liner atau fungsi kuadrat atau fungsi dengan pangkat lebih dari 2.

Dalam 2 fungsi aljabar berlaku operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Contoh fungsi aljabar, f(x) = y = 2x +1 dan f(x) = y = 3x2 + 5

Operasi fungsi aljabar :

  • Penjumlahan: f(x) + g(x) = (f + g)(x)
  • Pengurangan: f(x) – (g(x) = (f – g)(x)
  • Perkalian: f(x). g(x) = (f. x) (x)
  • Pembagian: f(x) : g(x) = (f : g) (x)

Contoh

  1. f (x) = x2 + 4 dan g(x) = x + 2. Hitunglah penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan perkalian f(x) dengan g(x)!

    Jawab:
    f(x) + g(x) = f + g (x) = x2 + 4 + x + 2 = x2 + x + 6
    f(x) – g(x) = f – g (x) = x2 + 4 – (x _+ 2) = x2 + 4 – x – 2 = x2 + x + 2
    f(x), g(x) = (f.g)(x) = (x2 + 4) (x + 2) = x3 + 2x2 + 4x + 8
    f (x) : g(x) = (f : g)(x) = (X2 + 4) : (X + 2) = (X + 2) (X – 2) : (X + 2) = X + 2 ; X2 + 4 difaktorkan menjadi (x + 2) (x – 2)

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi secara terperinci pernah dibahas sebelumnya dalam PinterKelas.

Jenis fungsi ini melibatkan 2 fungsi. Jika dirumuskan sebagai berikut.

(f ◦ g)(x) = f(g(x)), fungsi komposisi dengan g(x) dikerjakan terlebih dahulu daripada f.

(g ◦ f)(x) = g(f(x)), fungsi komposisi dengan f(x) dikerjakan terlebih dahulu daripada g.

Contoh

  1. Jika diketahui f (x) = x2 + 4 dan g(x) = x + 2. Tentukanlah f ◦ g(x) dan gof(x)!

    Jawab:
    f ◦ g(x) = f(g(x)) = f (x + 2) = (x +2)2 + 4 = x2 + 2x + 4 + 4 = x2 + 2x + 8
    g ◦ f(x) = g(f(x)) = g (x2 + 4) = x2 + 4 + 2 = x2 + 6

Hubungan Fungsi Invers dan Komposisi

Untuk mempermudah penentuan fungsi invers dari fungsi komposisi dirumuskan sebagai berikut.

  1. (f ◦ f-1)(x)= (f -1 ◦ f)(x)= l (x)
  2. (f ◦ g)-1 (x)= (g-1 ◦ f-1)(x)
  3. (f ◦ g)(x)= h (x)→ f (x)= (h ◦ g-1)(x)

Menentukan Fungsi Invers

Fungsi invers hanya berlaku pada fungsi yang bijektif atau korespondesi satu-satu. Dengan demikian, hasil fungsi kebalikan merupakan fungsi pula. Tidak ada yang hasilnya angka mutlak atau konstanta.

Untuk menentukan fungsi invers dengan mudah, ikuti langkah-langkah berikut.

  1. Mengubah bentuk y = f(x) menjadi x = f (y).
  2. Menuliskan x menjadi f-1(y) sehingga didapatkan f-1(y) = f(y).
  3. Mengubah variabel y dengan x, sehingga diperoleh rumus fungsi invers f-1(x).

Contoh Soal dan Pembahasan

Agar pemahaman Cerdikawan tentang fungsi kebalikan lebih mantap, kerjakan yuk contoh soal di pembahasan di bawah ini! Setelah mencoba untuk mengerjakan sendiri barulah kamu intip jawaban di bawahnya.

  1. Tentukan fungsi kebalikan atau invers dari f(x) = 2x + 6!

    Jawab:
    Tentukan fungsi kebalikan atau invers berdasarkan langkah di atas!
    f(x) = 2x + 6
    y = 2x + 6

    Mengubah menjadi x = f(y)
    2x + 6 = y
    2x = y – 6
    x = ½ (y – 6)
    x = ½ y – 3

    Mengubah x menjadi f-1(y)
    f-1(y) = 1/2 y – 3

    Mengubah variabel y menjadi x
    f-1(x) = ½ x – 3

    Jadi rumus invers daari fungi f(x) = 2x + 6 adalah f-1(x) = ½ x – 3.
  2. Tentukan rumus invers dari fungsi kuadrat dari f(x) = x2 – 4x + 3

    Jawab:
    f(x) = x2 – 4x + 3
    y = f(x) = x2 – 4x + 3
    y = x2 – 4x + 3
    y = x2 – 4x + 4 – 1
    y = (x – 2)2 -1
    (x – 2)2 – 1 = y
    (x – 2)2 = y + 1

  3. Jika diketahui f (x) = x2 + 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan fungsi invers dari (f ◦ g)(x)!

    Jawab:
    Berdasarkan rumus fungsi komposisi invers,
    (f ◦ g)-1 (x)= (g-1 ◦ f-1)(x)

    Carilah terlebih dahulu f-1(x) dan g-1(x)!
    f(x) = x2 + 4
    y = f(x) = x2 + 4
    x2 + 4 = y
    x2 = y – 4
    fungsi invers
    g(x) = x + 2
    y = g(x) = x + 2
    x + 2 = y
    x = y – 2
    g-1(y) = y – 2
    g-1(x) = x – 2
    fungsi invers
  4. Diketahui f(x) = 3log (x – 2), tentukan f-1(x) !

    Jawab:
    f(x) = 3log (x – 2),
    y = f(x) = 3log (x – 2),
    3log (x – 2) = y

    Berdasarkan sifat logaritma, ditentukan:
    (x – 2) = 3y
    x = 3y – 2
    f-1(y) = 3y – 2
    f-1(x) = 3x – 2

Untuk mempermudah perhitungan beberapa invers dari suatu fungsi, ada pula rumus cepat yang dapat kamu ikuti. Rumus tersebut dapat kamu ikuti seperti dalam gambar.

Itulah uraian singkat tentang fungsi invers. Semoga bermanfaat!

Baca juga :
1. Rumus Lengkap Turunan Trigonometri dan Contohnya
2. Saatnya Belajar Rumus ABC dan Langkah Mudah Menyelesaikan Soal Persamaan Kuadrat!

Author