Barisan bilangan merupakan sejumlah bilangan yang disusun sedemikian rupa dengan pola tertentu. Pola tersebut memungkinkan seseorang yang melihat deretan bilangan dapat memperkirakan alias menebak bilangan selanjutnya atau bilangan ke sekian. Barisan bilangan jika ditambahkan membentuk deret. Kamu juga bisa menebak jumlah barisan tertentu dengan rumus, misalnya rumus deret geometri.

Rumus deret geometri seperti dalam judul di atas, tentu saja berhubungan erat dengan rumus barisan geometri. Oleh karena itu kamu harus terlebih dahulu memahami model barisannya, rumus barisan, baru rumus deret.

Pastinya, Cerdikawan tidak salah! PinterKelas akan berusaha membahas semua aspek barisan dan rumus deret geometri dengan jelas dan lengkap. Simak ya!

Ciri Barisan Geometri

Di atas sempat disinggung bahwa barisan bilangan adalah deretan bilangan dengan pola tertentu.

Berdasarkan definisi di atas, tentu saja ada berbagai model pola barisan bilangan. Pola barisan bilangan ganjil, bilangan segitiga, bilangan persegi, aritmatika, geometri, dan lain-lain.

Bagaimana membedakan masing-masing pola barisan? Tentu saja dengan ciri-cirinya.

Ciri barisan geometri yang paling mudah dikenali terdapat perbandingan yang sama antara bilangan di posisi tertentu dengan bilangan selanjutnya. Misalnya perbandingan bilangan kedua dengan pertama, bilangan ketiga dengan bilangan kedua, dan seterusnya.

Sebagai contoh, perhatikan barisan geometri berikut.

  • 64, 32, 16, 8, …
  • 64 : 32 = 16 : 32 = 8 : 16 = 1 : 2 = ½.

Dalam barisan geometri, perbandingan tersebut dilambangkan dengan r.

Jika suku ke n dinyatakan dengan Un dan suku sebelumnya dinyatakan dengan Un-1, maka:

rumus deret geometri

Rumus Barisan Geometri

Perhatikan kembali contoh barisan geometri SMP di atas!

64, 32, 16, 8, ….

Dari barisan tersebut diketahui:

  • a = suku pertama = 64
  • r = perbandingan= ½

Dengan mengetahui unsur a dan r, kamu dapat menentukan suku atau bilangan ke-n dari barisan.

Rumus suku ke-n dari barisan geometri:

Un = arn-1

Kamu dapat mengetahui suku ke-6 dari barisan geometri contoh.

U6 = 64. ½6-1 = 64. ½5 = 64. 1/32 = 64/32 = 2

Rumus Deret Geometri

Deret merupakan penjumlahan suku pertama sampai suku ke-n dari pola barisan bilangan. Deret geometri adalah penjumlahan suku pertama sampai suku ke-n dari barisan geometri.

Deret mudah dihitung secara manual jika kamu hanya ditanya jumlah hingga suku atau bilangan ke-3. Bagaimana kalau jumlah hingga suku ke-6, suku ke-10, bahkan suku ke-100?

Kamu harus menghitungnya dengan rumus deret geometri. Dengan Sn = deret geometri atau jumlah barisan hingga suku ke-n, maka:

Sn = a(1 – rn) / 1 – r, untuk r yang kurang dari 1
Sn = a(rn – 1) / r – 1, untuk r yang lebih dari 1

Contoh Soal dan Pembahasan

Agar kamu lebih memahami semua rumus yang telah dikemukakan di atas, di bawah ini ada beberapa contoh variasi soal mulai dari barisan geometri.

  1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri 3, 6, 12, 24. . . .

    Jawab:
    3, 6, 12, 24, …

    U1 = a = 3
    U2 = 6
    r = U2/U1 = 6/3 = 2
    Un = arn-1 = 3.2n-1
  2. Diketahui suku pertama suatu barisan geometri adalah 16 dan suku ketiga adalah 36. Tentukanlah besar suku ke-6!

    Jawab:
    U1 = a = 16
    U3 = 36 = arn-1 = 16.r3-1 = 16. r2 , subtitusikan a ke dalam rumus U3
    16.r2 = 36
    r2 = 36/16
    r = persamaan lingkaran36/16 = 6/4 = 3/2
    U6 = arn-1 = 16.3/26-1 = 16.3/26 = 16. 243/32 = 243/2 = 121,5
    Jadi suku ke-6 barisan geometri di atas adalah 121,5.
  3. Diketahui suku ketiga dan keenam dari sebuah barisan geometri adalah 32 dan 4. Berapa suku pertama deret tersebut?

    Jawab:
    Subtitusikan rumus suku ke-n ke suku ketiga dan keenam.
    U3 = ar3-1 = ar2 = 32
    U6 = ar6-1 = ar5 = 4
    U3/U6 = ar2/ ar5 = 32/4, bagilah a dengan a dan r2 dengan a5.
    1/r3 = 8
    8r3 = 1
    r3 = 1/8 = 1/23
    r = ½

    Subtitusikan r ke persamaan U1.
    ar2 = 32
    a(1/2)2 = 32
    a(1/4) = 32
    a/4 = 32
    a = 32. 4 = 128
    Jadi, suku pertama dari deret di atas adalah 128.
  4. Roni mempunyai 5 ekor ayam yang setiap bulan bertambah menjadi tiga kali lipat. Jika tidak ada ayam yang mati, maka berapa banyak ayam Roni selama 4 bulan?

    Jawab:
    Jumlah ayam Roni setiap bulan merupakan barisan geometri.
    a = 5
    r = 3
    Maka, Un = arn-1

    Jumlah ayam Roni selama 4 bulan, berarti U5.
    U5 = 5.35-1 = 5.34 = 5.81 = 405
    Jadi, jumlah ayam Roni sekarang adalah 405 ekor.
  5. Dari sebuah barisan geometri diketahui suku kelima adalah 48 dan suku ketujuh adalah 192. Berapa jumlah sepuluh suku pertama barisan tersebut?

    Jawab:
    Subtitusikan rumus Un = arn-1 ke U5 dan U7.
    U5 = ar5-1 = 48
    U7 = ar7-1 = 192

    Perbandingan rasio = U7/U5 = ar6/ ar4 = 192/48
    r2 = 4
    r = 2

    Subtitusikan r = 2 ke persamaan U5.
    U5 = ar5-1 = 48
    a.24 = 48
    16a = 48
    a = 48/16 = 3
    r = 2 dan r lebih besar dari 1.

    Berarti untuk menghitung jumlah 10 suku pertama menggunakan rumus:
    Sn = a(rn – 1) / r – 1
    S10 = 3. (210 – 1) / 2 – 1 = 3.(1.024 -1)/1 = 3 x 1.023 / = 3.069/1 = 3.069

    Jadi, jumlah 10 suku pertama deret geometri adalah 3.069.
  6. Sebuah tali dipotong menjadi 5 tidak sama panjang. Namun, panjang masing-masing tali membentuk barisan geometri. Jika panjang tali terpendek adalah 5 m dan panjang tali terpanjang adalah 80 m, maka berapakah panjang tali semula?

    Jawab:
    Diketahui barisan geometri.
    U1 = a = 5
    U5 = 80
    n = 5
    Panjang tali keseluruhan adalah S5.

    Sebelumnya, carilah rasio atau r terlebih dahulu dengan mensubtitusikan U5 ke rumus.
    U5 = ar5-1 = 80
    5.r4 = 80
    r4 = 80 / 5 = 16
    r = 2, r lebih besar dari 1.

    Dengan demikian, subtitusikan semua nilai yang diketahui ke dalam :
    Sn = a(rn – 1) / r – 1
    S5 = 5(25 – 1) / 2 – 1 = 5 (32 – 1) /1 = 5. 31 = 155

    Jadi, panjang tali mula-mula adalah 155 m.
  7. Sebuah bambu dipotong menjadi 6 bagian sehingga masing-masing membentuk barisan geometri. Bambu terpanjang adalah 192 cm dan bambu terpendek adalah 6 cm. Berapakah panjang mula-mula?

    Jawab:
    Diketahui barisan geometri.
    U1 = a = 6
    U6 = 192
    n = 6

    Subtitusikan rumus ke dalam U6 sehingga dapat ditentukan nilai r.
    U6 = ar6-1 = 192
    6.r5 = 192
    r5 = 192/6 = 32
    r = 2 artinya nilai r lebih besar dari 1.

    Dengan demikian, subtitusikan semua nilai yang diketahui ke dalam :
    Sn = a(rn – 1) / r – 1
    S6 = 6(26 – 1) / 2 – 1 = 6 (64 – 1)/1 = 6.63 = 378

    Jadi, panjang bambu mula-mula adalah 378 cm.

Demikian pembahasan PinterKelas tentang rumus deret geometri. Meski pembahasan jauh dari sempurna, semoga tetap bermanfaat!

Baca juga :
1. Menentukan Relasi dan Fungsi dengan Langkah Tepat!
2. Penjelasan Rumus Suku Ke n Barisan Geometri dan Aritmatika

Author