Cerdikawan, kamu sudah tahu bukan dengan bangun datar lingkaran? Ya, bangun yang mempunyai simetri putar dan lipat tidak hingga banyaknya. Ternyata selain menggambar menggunakan jangka dan diketahui diameter dan jari, ada cara menggambarkan lingkaran. Ada persamaan lingkaran. Persamaan yang terdiri dari variabel dan konstanta tertentu yang jika dihitung dapat membentuk lingkaran.

Tentu saja persamaan lingkaran pada dasarnya hampir sama dengan persamaan lain. Bedanya, dari persamaan kamu dapat mengetahui jari-jari lingkaran. Bahkan, hingga menggambarkannya pada bidang koordinat.

Kedengarannya menarik ya? Memang menarik lho belajar matematika! Buang jauh-jauh pikiran bahwa matematika itu sulit. Cukup fokus dan banyak berlatih, pasti kamu bisa. Yuk, belajar persamaan lingkaran!

Pengertian

Sebelum masuk kepada persamaan lingkaran, yuk ingat kembali beberapa hal tentang lingkaran.

Lingkaran adalah sebuah garis lengkung yang menghubungkan titik titik yang berjarak sama dari pusatnya.

Beberapa unsur lingkaran, yaitu diameter, jari-jari, juring, tembereng, busur, dan lain-lain.

Diameter merupakan garis yang menghubungkan antara titik di sisi lingkaran satu dengan lainnya dan melewati titik pusat. Sedangkan, jari-jari adalah garis yang menghubungkan antara titik tengah dengan titik di sisi lingkaran.

Diameter dan jari-jari lingkaran ini penting diketahui konsepnya untuk memahami persamaan lingkaran. Diamater besarnya 2 kali dari jari-jari lingkaran.

Persamaan Umum Lingkaran

Dalam lingkaran, terdapat persamaan umum, yaitu:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Berdasarkan persamaan di atas, kamu dapat menentukan titik pusak dan jari-jari lingkaran.

Titik pusat dirumuskan:

P (a, b) = P (-1/2A, -1/2B)

Sedangkan jari-jari lingkaran dirumuskan:

r = persamaan lingkaran(1/2a)2 + (1/2b)2 – C = persamaan lingkaran(1/2. -1/2A)2 + (1/2. -1/2B)2 – C = persamaan lingkaran(1/4A)2 + (1/4B)2 – C

Persamaan Lingkaran yang Diketahui Titik Pusat dan Jari-Jari Lingkaran

Jari-jari dan titik pusat saling berhubungan karena definisi jari-jari adalah garis yang menghubungkan titik pusat dengan titik sembarang dari sisi lingkaran. Dengan demikian, dengan titik tidak terhingga di sini maka jari-jari lingkaran mempunyai jumlah yang tak hingga pula. Namun, setiap jari-jari mempunyai panjang yang sama.

Rumus persamaan lingkaran dengan titik pusat dan jari-jari yang diketahui:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2, di mana r adalah jari- jari dan (a, b) adalah titik pusat.

Dari persamaan di atas, kamu dapat menentukan letak sebuah titik; pada lingkaran, di dalam lingkaran atau di luar lingkaran.

Titik berada pada lingkaran: (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Titik di dalam lingkaran: (x – a)2 + (y – b)2 < r2

Titik di luar lingkaran: (x – a)2 + (y – b)2 > r2

Garis Singgung Lingkaran

Sebuah garis dapat dikatakan menyinggung lingkaran apabila ada sebuah titiknya tepat sama dengan titik pada lingkaran. Sedangkan garis dikatakan memotong lingkaran apabila melalui dua titik pada lingkaran sekaligus.

Dengan tanpa memperhatikan cara rumus diturunkan, kamu dapat mengetahui apakah sebuah garis dengan persamaan y = mx + n menyinggung atau menyinggung lingkaran.

Masukkanlah persamaan y = mx + n ke dalam rumus umum persamaan lingkaran.

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

x2 + (mx + n )2 + Ax + B(mx + n) + C = 0

Dari persamaan baru kamu dapat menghitung deskriminan atau D.

D = b2 – 4.a.c

Jika D < 0, garis tidak menyinggung dan atau memotong lingkaran.

Jika D = 0, garis menyinggung lingkaran.

Jika D > 0, garis memotong lingkaran.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Di atas telah disebutkan bahwa sebuah garis dapat saja menyinggung lingkaran.

Jika hanya diketahui titik singgungnya, kamu dapat menentukan persamaan garis tersebut dengan rumus di bawah ini.

x1.x + y1.y = r2

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

x1. x + y1. y + A/2 (x1 + x) + B/2 (y1 + y) + C = 0

Bagaimana jika yang diketahui dari garis singgung hanya gradien atau kemiringannya (m)? Kamu dapat menentukan persamaannya dengan rumus berikut.

y = mx r persamaan lingkaran1 + m2

y – b = m (x –a) r persamaan lingkaran1 + m2

y – B/2 = m (x – A/2) r persamaan lingkaran1 + m2

Contoh Soal dan Pembahasan

Cukup banyakkah rumus di atas? Kamu dapat lebih memahaminya dengan soal-soal di bawah ini!

  1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3, -2) dan mempunyai titik pusat di (3,4)

    Jawab:
    Masukkan nilai yang diketahui ke rumus persamaan yang mengetahui titik pusat dengan jari-jari tertentu.
    (x – a)2 + (y – b)2 = r2
    (3 – 3)2 + (-2 – 4)2 = r2
    0 + (-6)2 = r2
    36 = r2
    r = persamaan lingkaran36 = 6

    Masukkan kembali nilai r ke persamaan awal.
    (x – a)2 + (y – b)2 = r2
    (x – 3)2 + (y – 4)2 = 62 (Hitunglah kuadrat masing-masing)
    x2 -6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 36
    x2 + y2 – 6x – 8y + 9 + 16 = 36
    x2 + y2 – 6x – 8y + 25 = 36
    x2 + y2 – 6x – 8y + 25 – 36 = 0
    x2 + y2 – 6x – 8y – 11 = 0
    Jadi persamaan lingkaran = x2 + y2 – 6x – 8y – 11 = 0
  2. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (2,3 ) dan berdiameter 8 cm!

    Jawab:
    d = 8 cm berarti r = ½ d = 1/2 . 8 = 4 cm
    titik pusat (2, 3)
    Masukkan ke persamaan lingkaran yang diketahui titik pusat dan jari-jari.

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2
    (x – 2)2 + (y – 3)2 = 42
    x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 16
    x2 + y2 – 4x – 6y + 4 + 9 – 16 = 0
    x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0
    Jadi, persamaan lingkaran = x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0
  3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang titiknya (5,2) menyinggung lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 2y – 10 = 0

    Jawab:
    Dari soal di atas dapat diketahui pula bahwa lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 2y – 10 = 0 melalui titik (5,2).
    x1 = 5
    y1 = 2
    A = -4
    B = 2
    C = -10

    Untuk mencari persamaan garis singgung maka masukkan nilai yang diketahui ke dalam rumus.
    x1. x + y1. y + A/2 (x1 + x) + B/2 (y1 + y) + C = 0
    x + 2. y + (-4/2) (5 + x) + 2/2 ( 2 + y) – 10 = 0
    5x + 2y + (-2) (5 + x) + (2 + y) – 10 = 0
    5x + 2y -10 – 2x + 2 + y – 10 = 0
    5x – 2x + 2y + y – 10 + 2 – 10 = 0
    3x + 3y -18 = 0
  4. Sebuah kapal berada pada koordinat (5,12). Kapal tersebut memiliki radar dengan jangkauan 42 km ke segala arah. Tuliskanlah persamaan model jangkauan maksimum dari radar pada kapal.

    Jawab:
    Dari soal di atas diketahui bahwa titik pusat (5, 12) dan r = 42
    Jangkauan radar biasanya berupa lingkaran.
    Berarti untuk model persamaan merupakan persamaan lingkaran.

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2
    (x – 5)2 + (y – 12)2 = 422
    x2 – 10x + y2 – 24y + 144 = 1.764
    x2 + y2 – 10x – 24y + 144 – 1.764 = 0
    x2 + y2 – 10x – 24y – 1.620 = 0
    Jadi, model persamaannya = x2 + y2 – 10x – 24y – 1.620 = 0

Itulah uraian tentang persamaan lingkaran dari PinterKelas. Dari rumus yang terlihat banyak, kamu tinggal mencocokkan dengan bagian yang diketahui. Selamat berlatih!

Baca juga :
1. Lengkap! 4 Rumus Lingkaran, Mulai dari Keliling, Luas, Busur, hingga Juring
2. Cara Membaca dan Membuat Diagram Lingkaran

Author