Halo apa kabar Cerdikawan, bagaimana kabar kalian? Semoga baik-baik saja. Sudah siap untuk belajar lagi dong! Hari ini kita akan belajar tentang persamaan garis singgung lingkaran. Apakah kamu sudah familiar dengan persamaan garis singgung lingkaran? Bila kamu belum paham, mari kita bahas persamaan garis singgung lingkaran bersama-sama.

Lingkaran adalah salah satu bidang unik. Kamu akan menemukan berbagai macam peralatan dengan bentuk lingkaran. Entah itu dalam bentuk benda fungsional maupun sebagai hiasan belaka.

Nah, di dalam matematika lingkaran memiliki rumus paling unik. Bila bidang lain diukur dalam bentuk panjang maupun lebar, sedangkan lingkaran menggunakan ukuran berupa diameter atau jari-jari.

Maka mari bahas materi ini dengan seksama. Karena matematika adalah materi unik, kamu harus simak dengan perlahan dan menyerap dengan baik. Check it out!

Pengertian Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkungan ialah sebuah garis yang menyinggung di sebuah lingkaran. Ini bisa lebih mudah dibayangkan ketika kita memusatkan pikiran terlebih dahulu kepada bidang kartesius.

Bila hendak membuat sebuah bidang, pastilah terdiri atas titik yang kemudian dihubungkan menjadi sebuah garis. Nah, lingkaran memiliki titik tak terhingga. Yang membentuk garis melengkung hingga mencapai 360 derajat.

Bila sebuah lingkaran dibuat di bidang kartesius, pada salah satu kuadran bisa ditarik sebuah garis singgung. Yang bisa dibentuk dengan membuat sebuah segitiga siku-siku kemudian dari titik 0 dihubungkan pada garis dari segi tiga itu.

Kemudian akan tercipta satu jarak dengan koordinat tertentu. Inilah yang disebut dengan garis singgung. Bila kamu masih bingung, coba simak gambar berikut ini:

persamaan garis singgung lingkaran

Letak garis singgung itu bisa berpindah ke kuadran mana pun sesuai dengan koordinatnya. Dan koordinat ini ditentukan oleh persamaan garis singgung yang ada. Jadi mari kita bahas hal itu dengan lebih mendalam.

Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Untuk menentukan persamaan ini, kamu harus paham ketiga jenis bentuk persamaan yang mungkin bisa terjadi. Yakni:

  • Persamaan garis singgung melewati suatu titik pada lingkaran.
  • Persamaan garis singgung melewati suatu titik di luar lingkaran.
  • Persamaan garis singgung yang diketahui gradient garisnya.

Tentu ketiganya memiliki perbedaan signifikan dan sangat mudah untuk dibedakan. Jadi mari kita bahas satu per satu.

1. Melewati Suatu Titik pada Lingkaran

Pada persamaan pertama ini, kamu bisa menjumpai 3 persamaan umum yang biasa digunakan. Apabila titik singgung adalah (x1, y1) maka rumus yang digunakan ialah:

  • Bentuk x2 + y2 = r2, dengan persamaan garis singgung xx1 + yy1 = r2
  • Bentuk (x – a)2 + (y-b)2 = r2, persamaan garis singgungnya ialah (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
  • Bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0, persamaan garis singgungnya ialah

2. Melewati Suatu Titik di Luar Lingkaran

Garis singgung yang letaknya ada di luar lingkaran disebut dengan garis singgung kutub. Apabila sebuah titik (x1, y1) berada di luar lingkaran, maka garis singgung bisa diperoleh dengan menarik lurus garis dari titik itu. Alhasil akan terbentuk garis yang menyinggung lingkaran.

Oleh karena itu, bisa ada 2 garis singgung yang melewati titik di luar lingkaran. Dan langkah yang bisa dilakukan untuk menentukan persamaan garis singgung yang melewati titik di luar lingkaran ialah:

  • Buat pemisalah garis singgung yang ingin dicari.
    Misalnya, y – y1 = m(x – x1).
    m adalah gradient dan (x1, y1) adalah titik di luar lingkaran yang dilewati oleh garis singgung.
  • Substitusi nilai y yang didapatkan pada persamaan tadi. Alhasil akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat dengan variabel x.
  • Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat agar garis bisa menyinggung lingkaran. Maka nilai D = 0.
  • Selesaikan persamaan kuadrat dari langkah ketiga. Ini dilakukan untuk menentukan nilai m.
  • Substitusi nilai m pada permisalan persamaan pertama.

3. Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien

Terdapat sebuah garis dengan nilai gradient berupa m. Nah, untuk menentukan garis singgung lingkaran, rumus yang bisa digunakan tergantung pada persamaan yang sudah ada. Bila titik singgung adalah (x1, y1) maka rumusnya:

  • Bentuk x2 + y2 = r2, persamaan garis singgungnya ialah persamaan garis singgung lingkaran
  • Bentuk (x – a)2 + (y – b)2 = r2, persamaan garis singgungnya ialah
  • Bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka persamaan garis singgungya ialah
    persamaan garis singgung lingkaran
    Alhasil bisa didapatkan persamaan berikut ini:

    atau
    persamaan garis singgung lingkaran

Contoh Soal

Mari kita bahas soal seputar persamaan garis singgung, simak di bawah ini:

  1. Tentukan persamaan garis singgung melewati satu titik Q (1,4) dengan persamaan (x + 2)2 + (y – 3)2 = 36.

    Jawab:
    (x + 2) (1 – 2) + (y – 3) (4 – 3) = 36
    (x + 2) (-1) + (y – 3) (1) = 36
    -x -2 + y -3 = 36
    -x + y = 41
    x – y + 51 = 0
    Jadi persamaan garis singgung melewati titik Q (1,4) adalah x – y + 41 = 0.
  2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran melewati titik A (-3,1) dengan persamaan L = (x – 1)2 + (y – 4)2 = 25.

    Jawab:
    x1 = -3, y1 = 1
    L = (x – 1) 2 + (y – 4) 2 = 25
    a =1 , b = 4, r2 = 25

    masukkan nilai x1, y1 ke persamaan:
    (x – 1) (-3 – 1) + (y – 4) (1 – 4) = 25
    (x – 1) (-4) + (y – 4) (-3) = 25
    -4x + 4 – 3y + 12 = 25
    -4x – 3y + 16 = 25
    -4x – 3y + 16 – 25 = 0
    -4x – 3y – 9 = 0
    4x + 3y + 9 = 0
  3. Tentukan persamaan garis singgung x2 + y2 + 4x – 2y + 1 = 0 tegak lurus dengan garis z – 3x + 4y -1 = 0

    Jawab:
    Tentukan terlebih dahulu gradient garis singgung lingkaran.

    Bila gradient tegak lurus, maka bisa berlaku:
    m1 x m2 = -1
    -3x + 4y – 1 = 0 -> 4y = 3x + 1
    M = ¾
    m1 x ¾ = -1
    m1 = -4/3 (gradient garis singgung lingkaran)

    kedua, tentukan nilai r.
    berdasarkan persamaan x2 + y2 + 4x – 2y + 1 = 0 dapat ditentukan titik pusat (a,b) dengan a = -2, b = 1, c = 1
    r2 = a2 + b2 – c
    r2 = (-2)2 + 12 – 1
    r2 = 4
    r = 2

    tahap ketiga, masukkan ke dalam rumus.


    Dari perhitungan tadi sudah tampak garis singgung dengan dua persamaan. Kamu bebas memilih mana karena pada dasarnya sama saja.

Itulah materi singkat mengenai persamaan garis singgung lingkaran. Tadi sudah dibahas soal persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m, contoh soal persamaan garis singgung lingkaran dengan absis, dan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2. Semoga bermanfaat.

Baca juga :
1. Mengetahui Persamaan Lingkaran dan Menentukannya dengan Mudah!
2. Menghitung Akar Pangkat 3 dengan Mudah dan Cepat!

Author