Induksi matematika merupakan ilmu yang baru saja dimasukkan di kurikulum matematika 2013, setelah sebelumnya dihilangkan pada kurikulum 2006 KTSP.

Induksi matematika ini sebenarnya tidak mempelajari tentang suatu rumus matematika tetapi memahami konsep. Sesuatu yang sudah mulai jarang ditemukan di matematika itu sendiri.

induksi matematika
pixabay.com

Mengapa? Pelajaran matematika yang kamu temukan saat ini kebanyakan sudah menghafal rumus. Tidak tahu bagaimana rumus tersebut bisa ada dan bagaimana cara membuktikan sebaliknya. Padahal mengetahui hal seperti itu dapat membuka logika. Membuat kamu lebih paham dan matematika lebih meyenangkan.

Nah, kali ini kamu akan diajak memahami tentang induksi matematika lebih dalam.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi masih merupakan perluasan ilmu matematika yang pernah kamu pelajari sebelumnya, yang disebut logika matematika. Bagian dari matematika yang menilai benar atau salah, ekuivalen, pengingkaran, dan penarikan kesimpulan. Di sini bahkan kamu diajarkan memahami sebuah kalimat dengan logika pelajaran matematika.

Induksi matematika adalah metode pembuktian deduktif sebuah pernyataan benar dan salah. Di sini kamu dapat membuktikan bahwa sebuah rumus sudah tepat digunakan dalam suatu materi. Namun, tidak bisa dilakukan sebaliknya seperti bagaimana cara menurunkan rumus tersebut.

Dalam induksi, semua variabel dalam perumusan dianggap sebagai anggota himpunan bilangan asli. Himpunan yang anggotanya merupakan bilangan bulat dan dimulai dari angka 1.

Efek Domino dan Induksi

Kamu pernah mencoba menyusun domino yang sama besarnya? Pada tahun 2001, seorang fisikawan dari Explorium San Fransisco pernah melakukan percobaan dengan domino yang besarnya bertingkat dengan perbandingan tetap.

Beberapa orang secara sederhana mungkin mengetahui efek ini. Yang lain pernah melihatnya secara sederhana di layar televisi atau di tempat lain.

induksi matematika
pixabay.com

Domino yang disusun mempunyai energi cukup besar untuk membuat benda lain ikut bergerak saat bagian terdepan dijatuhkan. Saat itu terjadi, secara perlahan domino ikut terjatuh secara bergiliran, di mana bagian depan akan membuat yang belakang terjatuh, begitu seterusnya.

Bagaimana efek domino menjelaskan induksi? Sama dengan efek tersebut, untuk membuktikan suatu masalah atau suatu rumus, diperlukan tahapan, tidak bisa langsung ke masalahnya.

Dalam matematika induksi menggunakan dua tahapan, yaitu basis induksi dan langkah induksi.

Basis Induksi Matematika

Basis atau dasar induksi atau pembuktian rumus dalam matematika adalah dengan mencobanya dengan bilangan yang terkecil. Ini merupakan tahapan pertama.

Buktikan bahwa rumus benar untuk n = 1, karena 1 merupakan angka terkecil dalam bilangan asli.

Ketika mendapatkan soal atau rumus untuk dibuktikan, cobalah dulu rumus tersebut dengan bilangan yang terkecil. Jika hasilnya positif alias benar, barulah lakukan langkah selanjutnya.

Langkah selanjutnya tersebut, disebut langkah induksi.

Langkah Induksi

Langkah induksi adalah pembuktian sebagai hipotesis dalam metode ilmiah.

Setelah kamu membuktikan rumus dengan angka terkecil selanjutnya membuktikan dengan hipotesis atau angka yang dimisalkan dengan k.

Lakukan pembuktian bahwa rumus adalah benar untuk n = k

Jika di bagian ini benar, hipotesis dibuktikan lagi pada rumus untuk n = k + 1 atau angka selanjutnya dari bilangan asli.

Kedua tahapan di atas dapat kamu lebih pahami dalam bentuk soal nantinya.

Jenis Induksi

Induksi secara sederhana paling banyak digunakan dalam materi deret aritmetika atau perhitungan jumlah seluruh barisan geometri. Bagian ini disebut sebagai jenis induksi matematika deret aritmatika.

Selanjutnya ada pula jenis induksi yang membuktikan rumus pembagian.

Namun, secara umum jarang sekali orang menggunakan kelompok jenis induksi karena keduanya mempunyai cara yang sama dalam penyelesaianannya.

Contoh Soal Induksi

Untuk lebih memahami tentang materi kali ini, contoh soal induksi matematika akan banyak membantu. Di sini kamu akan melihat beberapa langkah yang sudah disebutkan di atas.

  1. Buktikan bahwa 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = 1/4n2(n + 1)2

    Jawaban dan pembahasan:
    – Basis induksi dengan membuktikan rumus dengan angka terkecil, yaitu n = 1
    13 = 1/4(1)2(1 + 1)2 = 22/4
    1 = 1(terbukti)

    – Langkah 2 dengan langkah induksi sekaligus membuktikan bahwa n = k dan n = k +1 terbukti.

    n = 1
    13 + 23 + 33 + . . . + k3 = 1/4k2(k + 1)2
    n = k + 1
    13 + 23 + 33 + . . . + k3(k + 1)3 = 1/4(k + 1)2(k + 2)3
    13 + 23 + 33 + . . . + k3 + (k + 1)3 + (k + 1)3 = 1/4k2(k + 1)2 + (k + 1)3 (kedua ruas ditambah (k + 1)3.

    13 + 23 + 33 + . . . + (k + 1)3 = (k + 1)2(1/4k2 + (k + 1))
    13 + 23 + 33 + . . . + k3 + (k + 1)3 = (k + 1)
    13 + 23 + 33 + . . . + k3 + (k + 1)3 = 1/4(k + 1)2(k2 + 4k + 4)
    13 + 23 + 33 + . . . + k3 + (k + 1)3 = 1/4(k + 1)2(k + 2)(k + 2)
    13 + 23 + 33 + . . . + k3 + (k + 1)3 = 1/4(k + 1)2(k + 2)2

    Kesimpulan.
    Berdasarkan langkah-langkah yang telah dihasilkan terbukti bahwa benar.
  2. Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk masing-masing n bilangan asli.

    Jawab dan Pembahasan:
    P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
    – Basis Deduksi
    Menunjukan P(1) benar
    2 = 1(1 + 1)

    – Langkah Induksi
    Ibaratkan P(k) benar yakni:
    2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N

    Akan menunjukanP(k + 1) juga benar, yakni:
    2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

    Dari asumsi di atas maka:
    2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)

    Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
    2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
    2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
    2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
    Sehinga, P(k + 1) benar

    Kesimpulan.
    Berdasarkan uraian di atas terbukti bahwa 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1) benar.
  3. Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + …. + (2n – 1) = n2

    Jawaban dan pembahasan:
    n = 1, 1 + 3 + 5 + 7 + …. + (2n – 1) = n2, 2n – 1 = n2, 2(1) – 1 = 12
    1 = 1, terbukti benar.

    n = k, 2n – 1 = n2, 2 (k) – 1 = k2
    n = k +1 ,1 + 3 + 5 + 7 + …. + (2n – 1) = n2
    1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2(k +1) -1 = (k + 1)2

    Menggunakan rumus Sn atau deret aritmetika untuk Sk +1 maka disimpulkan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + …. + (2n – 1) = n2 benar karena 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2(k +1) -1 = (k + 1)2 terbukti.

Tiga contoh induksi matematika di atas sudah dibuat dengan 3 langkah. Ketiganya dapat dibuktikan benar. Jika salah satu saja tidak dapat terbukti, maka rumus yang dituliskan juga tidak benar.

Demikian materi PinterKelas kali ini. Pemahaman yang bisa membuktikan rumus berdasarkan konsepnya.

Semoga dapat menambah pemahaman kamu tentang matematika yang mudah.

Author