Cerdikawan, kamu masih ingat dengan materi matematika tentang turunan fungsi? Turunan fungsi ini ada 2, yaitu turunan fungsi aljabar dan turunan trigonometri.

Nah, pada kelas 11 kamu sudah mempelajari turunan fungsi aljabar. Turunan yang berhubungan dengan variabel x sebagai persamaan linear maupun persamaan kuadrat. Bahasan selanjutnya adalah turunan trigonometri. Turunan yang berhubungan dengan nilai, sin, cos, dan seterusnya.

Turunan trigonometri kelas 12, memang baru kamu pelajari di tingkat akhir sekolah lanjutan ini. Yuk simak uraian berikut!

Pengertian Turunan Trigonometri

Kamu sudah mengenal yang dimaksud dengan trigonometri? Ya, sebuah cara membandingkan sisi-sisi segitika siku-siku dengan sudutnya. Perbandingan yang kamu sebut sin, cos, tan, sec, dan seterusnya.

Turunan trigonometri mempelajari nilai turunan pada trigonometri. Artinya turunan dengan menggunakan perbandingan sin, cos, dan tan.

Rumus Dasar Turunan Trigonometri

Sebelum kamu mengerjakan soal turunan fungsi yang satu ini, ada rumus dasar yang harus diperhatikan. Rumus dasar yang pada dasarnya dikembangkan sama dengan rumus turunan aljabar.

Hasilnya, rumus dasar turunan trigonometri adalah sebagai berikut.

  • f (x) = sin x → f ‘(x) = cos x
  • f (x) = cos x → f ‘(x) = −sin x
  • f (x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x
  • f (x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x
  • f (x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
  • f (x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.
  • f (x) = arcsin (x) → f’ (x) = 1/√(1-x2)
  • f (x) = arccos (x) → f’ (x) = (-1)/√(1-x2)
  • f ( x) = arctan (x) → f’ (x) = 1/(1+x2)

Rumus Lanjutan I

Rumus ini pada dasarnya hampir sama dengan rumus dasar. Hanya saja x berupa fungsi. Akibatnya, ketika fungsi x dilambangkan dengan u maka akan diperoleh hasil sebagai berikut.

  • f (x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’
  • f (x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
  • f (x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
  • f (x) = cot u → f ‘(x) = −csc2u . u’
  • f (x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
  • f (x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’

Rumus Lanjutan II

Selain rumus di atas, terdapat rumus turunan di mana sudut yang ditunjukkan bukanlah x tetapi ax + b, di mana a dan b adalah bilangan real. Bilangan real dengan a ≠ 0.

Rumus tersebut, yaitu:

  • f (x) = sin (ax + b) → f’ (x) = a cos (ax +b)
  • f (x) = cos (ax = b) → f’ (x) = -a sin (ax + b)
  • f (x) = tan (ax + b) → f’ (x) = a sec2 (ax + b)
  • f (x) = cot (ax + b) → f’ (x) = -a sec2 (ax + b)
  • f (x) = sec (ax + b) → f’ (x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
  • f (x) = csc (ax + b) → f’ (x) = -a cot (ax +b). csc (ax + b)

Perhatikan!

Antara rumus dasar, rumus lanjutan I, dan rumus lanjutan II mempunyai kesamaan. Memperhatikan kesamaan tersebut akan membuat kamu mudah menghapalnya.

Perhatikan 2 rumus berikut jika dibandingkan dalam tabel.

FungsiTurunan
f (x) = sin xf ‘(x) = cos x
f (x) = sin uf ‘(x) = cos u . u’
f (x) = sin (ax + b)f’ (x) = a cos (ax +b)

Kamu hanya perlu menghapalkan rumus dasar dan turunan lanjutan dari f (x) = sin x, f (x) = sin u, dan f (x) = sin (ax +b). Rumus lain tinggal mengikuti.

Contoh Soal dan Pembahasan

Di bawah ini terdapat beberapa contoh soal dan pembahasan sesuai dengan rumus yang digunakan. Contoh soal dan pembahasan dapat menjadi acuan model perhitungan untuk turunan sejenis. Yuk langsung saja!

Tentukan turunan dari berbagai fungsi f (x) di bawah ini!

  1. y = cos x3
  2. y = sin 10x
  3. y = sec 1/4 x
  4. y = tan 2x + 1
  5. y = sin5 (4x +2)

    Jawab:
  1. y = cos x3 merupakan fungsi dengan x = U
    Rumus lanjutan I turunan fungsi trigonometri digunakan f (x) = cos u → f ‘(x) = −sin u .u’
    U = x3
    U’ = 3x2
    y = cos x3
    y’ = – sin x3. 3x2 = -3x2sin x3
  2. y = sin 10 x
    x = U sehingga masih menggunakan rumus lanjutan I turunan fungsi trigonometri f (x) = sin u → f ‘(x) = cos u .u’
    U = 10 x
    U’ = 10
    y = Sin 10x
    y’ = cos 10x. 10 = 10 cos 10x
  3. y = sec 1/4 x
    x = U sehingga masih menggunakan rumus lanjutan I turunan fungsi trigonometri f (x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u .u’
    U = ¼ x
    U’ = ¼
    y = sec 1/4x
    y’ = sec 1/4x. tan 1/4x . ¼ = ¼ sec 1/4x tan 1/4x
  4. y = tan (2x + 1)
    x = U sehingga penyelesaian soal masih menggunakan rumus lanjutan I turunan fungsi trigonometri f (x) = tan u → f ‘(x) = sec2u .u’
    U = 2x + 1
    U’ = 2
    y = tan (2x + 1)
    y’ = sec2 (2x + 1). 2 = 2sec2 (2x + 1)
  5. y = sin5 (4x +2)
    x = U sehingga penyelesaian soal masih menggunakan rumus lanjutan I turunan fungsi trigonometri f (x) = sin u → f ‘(x) = cos u .u’ Terdapat kuadrat = n = 5 sehingga f (x) = sin n. u → f ‘(x) = n. cos(n-1)u . u’
    U = 4x + 2
    U’= 4
    y = sin 5 (4x +2)
    y’ = 5 cos(5-1) (4x +2). 4 = 20 cos4 (4x+2)

Demikian Cerdikawan, materi PinterKelas kali ini tentang turunan trigonometri. Perhatikan bahwa dalam contoh soal di atas kamu harus mengingat kembali turunan fungsi aljabar untuk mengerjakan trigonometri. Jadi, buka kembali materi kamu sebelumnya ya! Selamat belajar!

Baca juga :
1. 3 Jenis Tabel Trigonometri Lengkap, Cara Membaca, dan Contoh Soal
2. Rumus Terbaik Identitas Trigonometri dan Cara Mudah Menyelesaikan Soalnya!

Author