Cerdikawan, kamu sudah tahu belum sih soal turunan fungsi? Kalau belum, kalian bisa mulai mencari tahu tentang apa itu turunan fungsi. Materi ini dipelajari di kelas 11 SMA. Kalau kamu belajar dengan sungguh-sungguh, materi ini cukup mudah untuk dipahami, kok!

Kita ketahui dulu yuk apa sih yang dimaksud dengan turunan (derivative)? yakni suatu bentuk pengukuran mengenai perubahan fungsi saat kalian mengubah nilai atau angka yang akan dimasukkan ke fungsi tersebut.

Turunan dalam Matematika berkaitan dengan pelajaran Fisika, contoh pengaplikasiannya adalah turunan dari suatu jarak pada waktu terntentu yang disebut kecepatan, lalu kalau kecepatan diturunkan lagi, maka kita akan mendapatkan percepatan.

Nah, proses untuk mendapatkan sebuah nilai turunan biasa disebut diferensiasi, sebelum dari itu kebalikan dari turunan, yaitu anti turunan atau yang biasa disebut integral.

Untuk memulai mengerjakan Matematika, sebelumnya kalian harus memahami terlebih dahulu materinya; seperti mengetahui pengertian dasar. Kita pelajari dulu pengertian turunan, yuk!

Pengertian Turunan

turunan fungsi

Jika limit tersebut ada, maka kita dapat katakan bahwa f terturunkan pada x.

Contoh 1

Diberikan f(x)=6x+10, tentukan nilai f’(6)

Solusi:

Untuk mengerjakan soal di atas, kita memerlukan definisi turunan, yaitu

Sehingga:

Maka, nilai f’(6) adalah 6

Bentuk Ekuivalen Dari Turunan

Contoh 2

Diberikan

Tentukan turunan f(x) di x=0

Solusi:

Berdasarkan bentuk ekuivalen dari turunan, maka kita mendapatkan

Lalu, cek nilai limit dari kanan maupun dari kiri:

Limit kiri:

Nilai f(x) ketika 0 dari kiri, maka menggunakan f(x)=x

Limit kanan:

Karena nilai limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka nilai f’(0) tidak ada, sehingga fungsi tersebut tidak terturunkan ketika x=0

Interpretasi Turunan

Turunan bisa didefinisikan dengan 2 cara: secara geometris dan fisika. Secara geometris turunan dapat diartikan sebagai kemiringan garis singgung pada titik yang diberikan. Sedangkan secara fisika, dapat diartikan sebagai kecepatan sesaat.

Garis Singgung (Tangent Line)

Pada garis lurus:

Garis yang terbentuk adalah garis L, maka keimiringan garis L adalah:

Pada kurva:

Kemiringan garis singgung = kemiringan garis potong

Definisi:

Garis singgung pada kurva y=f(x) pada titik P(c,f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan:

dengan syarat, limit ini ada.

Contoh 3

Carilah kemiringan garis singgung dari parabola y=x2 pada titik P(3,6), kemudian tuliskan persamaan garis singgungnya pada titik tersebut.

Solusi:

Melalui P(3,6)

Persamaan garis singgungnya:

Maka, solusinya adalah kemiringan garisnya adalah 6 dan persamaan garis singgungnya adalah y=6x-12

Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat

Kecepatan rata rata adalah jarak dari posisi awal ke posisi terakhir dibagi dengan waktu tempuh.

Definisi Kecepatan Sesaat:

            Jika sebuah objek bergerak sepanjang garis koordinat dengan fungsi posisi f(t), maka kecepatan sesaatnya pada waktu c adalah:

Dengan syarat, limit ini ada.

Contoh 4

Posisi suatu benda dinyatakan oleh s(t)=-2t3+12t2 dengan s (meter) dan t (detik).

  • Carilah kecepatan rata-rata dari t=4 sampai t=6
  • Carilah kecepatan sesaat pada t=4

Solusi:

Maka kecepatan rata-rata dari t=4 sampai t=6 adalah -32m/detik

b. Berdasarkan definisi, maka

Maka kecepatan sesaat saat detik ke 4 adalah 0

Aturan Untuk Mencari Turunan

Konstanta

Maka, turunannya:

Pangkat

Maka turunannya:

Perkalian dengan Konstanta

Maka turunannya:

Penjumlahan

Pengurangan

Perkalian

Biasa dikenal dengan perkalian uv, di mana f(x)=u dan g(x)=v.
Sehingga:

Pembagian

Biasa dikenal dengan pembagian uv, di mana f(x)=u dan g(x)=v.
Sehingga:

Aturan Fungsi Trigonometri

turunan fungsi trigonometri

Aturan Rantai

Teorema:

Misalkan y=f(u) dan u=g(x). Jika g terturunkan pada x dan f terturunkan pada u=g(x), maka fungsi komposisi fog yang didefinisikan (fog)(x)=f(g(x)) terturunkan pada x.

atau

Contoh 5
Carilah turunan pertama dari (3x4-2)2020

Solusi:

Contoh 6
Carilah f’(3). Jika

Solusi:

Contoh 7

Tentukan turunan pertamanya

Solusi:
Fungsi f (x) dapat diubah menjadi

Dengan aturan fungsi trigonometri, didapatkan:

Turunan Implisit

Fungsi eksplisit adalah fungsi yang variable bebas dan variable tak bebasnya terpisah dalam ruas kanan dan ruas kiri. Sedangkan fungsi implisit adalah fungsi yang variable bebas dan variable tak bebasnya bercamour dalam satu ruas dan tidak dapat dipisahkan.     

Contoh fungsi eksplisit  

Contoh fungsi implisit

Untuk mencari turunan dari fungsi implisit, kita dapat menurunkan kedua ruas. Langsung saja ke contoh soal sebagai berikut:

Contoh 8
Carilah turunan pertama dari

Solusi:
Turunan pertama, dapat dinotasikan sebagai dy/dx, sehingga:

Pindahkan yang mengandung dy/dx ke dalam satu ruas yang sama, sehingga:

Keluarkan dy/dx, sehingga:

Lalu akhirnya kita mendapatkan nilai dy/dx:

Sehingga, hasil turunan pertama dari fungsi tersebut adalah

Daftar Pustaka

  • Ponidi, dkk. 2006. Program Studi Ilmu Alam Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI.Jakarta Timur: Widya Utama, hlm. 237 & 239.
  • Sinaga, Bornok. 2014. Matematika. Jakarta: Kemdikbud, hlm. 167.
  • Tampomas, Husein. 2006. Seribu Pena Matematika SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga, hlm. 352 – 357.
  • Online ( https://bacaboy.com/persamaan-kuadrat/ ) diakses 2 Mei 2020

Author

A good story captivates. It moves. It inspires action.